The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0, XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0 → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__natsFrom(X)) →⁺ U41(isNatural(activate(X)), activate(X))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X / n__natsFrom(X)].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__natsFrom(X)) →⁺ U41(isNatural(activate(X)), activate(X))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X / n__natsFrom(X)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
fst, splitAt, activate, snd, head, afterNth, U71, U82, and, isNatural, isLNat, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
and, fst, splitAt, activate, snd, head, afterNth, U71, U82, isNatural, isLNat, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, fst, splitAt, snd, head, afterNth, U71, U82, isNatural, isLNat, isPLNat, natsFrom, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(11) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Induction Base:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, 0)))

Induction Step:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, +(n12_3, 1)))) →_R^Ω(1)
natsFrom(activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3)))) →_IH
natsFrom(*3_3)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(12) Complex Obligation (BEST)

(13) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
natsFrom, fst, splitAt, snd, head, afterNth, U71, U82, and, isNatural, isLNat, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(14) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol natsFrom.

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
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Types:
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n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatural, fst, splitAt, snd, head, afterNth, U71, U82, and, isLNat, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatural.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isLNat, fst, splitAt, snd, head, afterNth, U71, U82, and, isPLNat, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isLNat.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isPLNat, fst, splitAt, snd, head, afterNth, U71, U82, and, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isPLNat.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
afterNth, fst, splitAt, snd, head, U71, U82, and, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol afterNth.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
snd, fst, splitAt, head, U71, U82, and, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol snd.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
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isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
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activate(n__head(X)) → head(activate(X))
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Types:
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n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
splitAt, fst, head, U71, U82, and, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol splitAt.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
U71, fst, head, U82, and, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(28) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U71.

(29) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
U82, fst, head, and, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(30) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol U82.

(31) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
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n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
fst, head, and, tail

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(32) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol fst.

(33) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
tail, head, and

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(34) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol tail.

(35) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
head, and

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(36) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol head.

(37) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
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0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
and

They will be analysed ascendingly in the following order:
fst = splitAt
fst = activate
fst = snd
fst = head
fst = afterNth
fst = U71
fst = U82
fst = and
fst = isNatural
fst = isLNat
fst = isPLNat
fst = natsFrom
fst = tail
splitAt = activate
splitAt = snd
splitAt = head
splitAt = afterNth
splitAt = U71
splitAt = U82
splitAt = and
splitAt = isNatural
splitAt = isLNat
splitAt = isPLNat
splitAt = natsFrom
splitAt = tail
activate = snd
activate = head
activate = afterNth
activate = U71
activate = U82
activate = and
activate = isNatural
activate = isLNat
activate = isPLNat
activate = natsFrom
activate = tail
snd = head
snd = afterNth
snd = U71
snd = U82
snd = and
snd = isNatural
snd = isLNat
snd = isPLNat
snd = natsFrom
snd = tail
head = afterNth
head = U71
head = U82
head = and
head = isNatural
head = isLNat
head = isPLNat
head = natsFrom
head = tail
afterNth = U71
afterNth = U82
afterNth = and
afterNth = isNatural
afterNth = isLNat
afterNth = isPLNat
afterNth = natsFrom
afterNth = tail
U71 = U82
U71 = and
U71 = isNatural
U71 = isLNat
U71 = isPLNat
U71 = natsFrom
U71 = tail
U82 = and
U82 = isNatural
U82 = isLNat
U82 = isPLNat
U82 = natsFrom
U82 = tail
and = isNatural
and = isLNat
and = isPLNat
and = natsFrom
and = tail
isNatural = isLNat
isNatural = isPLNat
isNatural = natsFrom
isNatural = tail
isLNat = isPLNat
isLNat = natsFrom
isLNat = tail
isPLNat = natsFrom
isPLNat = tail
natsFrom = tail

(38) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol and.

(39) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
splitAt(X1, X2) → n__splitAt(X1, X2)
and(X1, X2) → n__and(X1, X2)
isNatural(X) → n__isNatural(X)
activate(n__natsFrom(X)) → natsFrom(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__isLNat(X)) → isLNat(X)
activate(n__nil) → nil
activate(n__afterNth(X1, X2)) → afterNth(activate(X1), activate(X2))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__fst(X)) → fst(activate(X))
activate(n__snd(X)) → snd(activate(X))
activate(n__tail(X)) → tail(activate(X))
activate(n__take(X1, X2)) → take(activate(X1), activate(X2))
activate(n__0) → 0'
activate(n__head(X)) → head(activate(X))
activate(n__sel(X1, X2)) → sel(activate(X1), activate(X2))
activate(n__pair(X1, X2)) → pair(activate(X1), activate(X2))
activate(n__splitAt(X1, X2)) → splitAt(activate(X1), activate(X2))
activate(n__and(X1, X2)) → and(activate(X1), X2)
activate(n__isNatural(X)) → isNatural(X)
activate(X) → X

Types:
U101 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
activate :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U11 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U21 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U31 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U41 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U51 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U61 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U71 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U81 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U82 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
U91 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__nil :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__afterNth :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__cons :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__fst :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
isPLNat :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__snd :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__0 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__head :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(40) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

(41) BOUNDS(n^1, INF)

(42) Obligation:

TRS:
Rules:
U101(tt, N, XS) → fst(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U11(tt, N, XS) → snd(splitAt(activate(N), activate(XS)))
U21(tt, X) → activate(X)
U31(tt, N) → activate(N)
U41(tt, N) → cons(activate(N), n__natsFrom(n__s(activate(N))))
U51(tt, N, XS) → head(afterNth(activate(N), activate(XS)))
U61(tt, Y) → activate(Y)
U71(tt, XS) → pair(nil, activate(XS))
U81(tt, N, X, XS) → U82(splitAt(activate(N), activate(XS)), activate(X))
U82(pair(YS, ZS), X) → pair(cons(activate(X), YS), ZS)
U91(tt, XS) → activate(XS)
afterNth(N, XS) → U11(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
and(tt, X) → activate(X)
fst(pair(X, Y)) → U21(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), X)
head(cons(N, XS)) → U31(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), N)
isLNat(n__nil) → tt
isLNat(n__afterNth(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__cons(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isLNat(n__fst(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__natsFrom(V1)) → isNatural(activate(V1))
isLNat(n__snd(V1)) → isPLNat(activate(V1))
isLNat(n__tail(V1)) → isLNat(activate(V1))
isLNat(n__take(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isNatural(n__0) → tt
isNatural(n__head(V1)) → isLNat(activate(V1))
isNatural(n__s(V1)) → isNatural(activate(V1))
isNatural(n__sel(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__pair(V1, V2)) → and(isLNat(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
isPLNat(n__splitAt(V1, V2)) → and(isNatural(activate(V1)), n__isLNat(activate(V2)))
natsFrom(N) → U41(isNatural(N), N)
sel(N, XS) → U51(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
snd(pair(X, Y)) → U61(and(isLNat(X), n__isLNat(Y)), Y)
splitAt(0', XS) → U71(isLNat(XS), XS)
splitAt(s(N), cons(X, XS)) → U81(and(isNatural(N), n__and(n__isNatural(X), n__isLNat(activate(XS)))), N, X, activate(XS))
tail(cons(N, XS)) → U91(and(isNatural(N), n__isLNat(activate(XS))), activate(XS))
take(N, XS) → U101(and(isNatural(N), n__isLNat(XS)), N, XS)
natsFrom(X) → n__natsFrom(X)
s(X) → n__s(X)
isLNat(X) → n__isLNat(X)
nil → n__nil
afterNth(X1, X2) → n__afterNth(X1, X2)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
fst(X) → n__fst(X)
snd(X) → n__snd(X)
tail(X) → n__tail(X)
take(X1, X2) → n__take(X1, X2)
0' → n__0
head(X) → n__head(X)
sel(X1, X2) → n__sel(X1, X2)
pair(X1, X2) → n__pair(X1, X2)
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n__pair :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__splitAt :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
natsFrom :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
sel :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
0' :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
s :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__and :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
n__isNatural :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
tail :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
take :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
hole_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and1_3 :: tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3 :: Nat → tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and

Lemmas:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

Generator Equations:
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(0) ⇔ n__nil
gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(x, 1)) ⇔ n__natsFrom(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(x))

No more defined symbols left to analyse.

(43) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_tt:n__s:n__natsFrom:n__isLNat:n__nil:n__afterNth:n__cons:n__fst:n__snd:n__tail:n__take:n__0:n__head:n__sel:n__pair:n__splitAt:n__isNatural:n__and2_3(+(1, n12_3))) → *3_3, rt ∈ Ω(n12₃)

(44) BOUNDS(n^1, INF)